Toujours prêt à bondir ‒ la race est fidèle à sa première vocation, la chasse ‒, le lévrier afghan est têtu, indépendant, distant et sûr de lui. C'est une race de contrastes : on l'a décrit comme un chien à la bravoure opiniâtre, qui peut également être timide; il est frivole, mais tantôt calme et paresseux; digne, mais bouffon. Il peut être affectueux et à l'opposé, carrément distant. De plus, il peut avoir très peur des étrangers. Faute d'un dressage de socialisation adéquat, le lévrier afghan a tendance à devenir sauvage.

Il faut consacrer beaucoup de temps au lévrier afghan pour plusieurs raisons. Malgré sa grande intelligence, le dressage peut être difficile, car ce chien est têtu. Il est très sensible à une correction sévère, qui donne souvent lieu à un refus d'obéir. C'est en le dirigeant avec douceur et en lui imposant une discipline rigoureuse que l'on obtient les meilleurs résultats. Son pelage requiert un toilettage périodique, soit le bain et le brossage hebdomadaires pour éliminer les poils morts, et ainsi empêcher la formation de nœuds et de feutre à laquelle cette race est sujette. Le lévrier afghan adulte mue au printemps et à l'automne et après une maladie; les femelles non stérilisées perdent leurs poils après chaque saison.

S'il peut être un bon chien d'appartement et un véritable sédentaire, le lévrier afghan doit faire beaucoup d'exercice pour chasser l'ennui et ne pas adopter un comportement destructeur comme mâcher des objets. Il faut à tout le moins prévoir une promenade quotidienne de deux ou trois kilomètres et le laisser courir librement dans une cour clôturée. Les chiens de cette race sont réputés pour ne pas obéir à l'appel, et finissent trop souvent leurs jours sous les roues d'une voiture. On ne devrait jamais laisser un lévrier afghan errer librement, car son instinct de prédateur peut être une menace pour les animaux de compagnie du voisinage. Par contre, si son propriétaire le dresse convenablement et reste vigilant, il peut cohabiter avec les enfants et les autres animaux de compagnie.

Le lévrier afghan est d'une minceur extrême dissimulée par un épais pelage, et mange beaucoup moins que sa taille ne le laisse croire. Une nourriture pour chiens de qualité supérieure, et éventuellement un supplément d'huile végétale, peuvent contribuer à maintenir sa peau et son pelage en santé. On peut lui enfiler un col tube spécialement conçu à cette fin (« snood ») pour éviter qu'il ne salisse ses longues oreilles lorsqu'il mange.

Le lévrier afghan est un membre de longue date de la famille des chiens de poursuite à vue. Ce sont des nomades d'Afghanistan, du Pakistan et du nord de l'Inde qui ont été les premiers à en faire l'élevage il y a des millénaires. Les traces historiques de ces élevages ont été en grande partie effacées lors des nombreuses invasions, notamment celles des armées de Gengis Khan et d'Alexandre le Grand. La chasse au gibier dans les montagnes a eu une influence déterminante sur le développement de la race.

Chasseur redoutable, le lévrier afghan était appelé à se lancer à la poursuite du petit et du gros gibier, dont l'antilope et éventuellement même le léopard. Bien que nombre de spécialistes contemporains doutent que le léopard ait été une de ses proies traditionnelles, des auteurs disent avoir vu, de leurs yeux vu, un lévrier afghan saisir un léopard par le cou et sectionner sa colonne vertébrale avec sa mâchoire.

Les premiers lévriers afghans à quitter le Moyen-Orient sont arrivés en Angleterre au XIXe siècle, accompagnés des soldats britanniques de retour de la guerre. La race a été reconnue par l'American Kennel Club en 1926. Elle est devenue synonyme de prestige et a atteint un sommet de popularité dans les années 1970. Le lévrier afghan est aujourd'hui un animal de compagnie et un chien de concours, plutôt qu'un chien de chasse, bien que des propriétaires à l'esprit d'aventure amènent leur animal à se délier les pattes à l'occasion d'une chasse au leurre. Ses tresses tombantes et son attitude noble sont depuis longtemps des gages de succès lors des concours.